请看一道竞赛题的几种不同解法,原数列是一个

2019-10-07 03:21栏目:中小学教育
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  一题多解是培养人们开发思维的极好途径,不仅对课本习题可采用此法,对竞赛题也不例外,请看一道竞赛题的几种不同解法,也许对提高我们的解题能力有所启发。

  公务员[微博]考试中,上百道的笔试题目,如何答的又快正确率有高呢?根据题目特征,以中间一个数为突破口进行解题,是一种常用的解题策略。运用取中法解答课本中的思考题和数学竞赛题,不仅能激发学生的学习兴趣,而且能使解题思路简捷、达到事半功倍的效果。华图公务员考试研究中心现举数列说明。

  安徽省公务员考试日益临近,备考也进入了最为关键的时刻。因此公务员考试名师将就行测的数量关系部分进行备考指导。数量关系问题是行政职业能力测试中十分重要的一个组成部分。数量关系既要求难度又要求速度,考生要反应灵敏、思维敏捷。如何能在攻克难度的前提下提高答题速度,中公教育名师认为无论是单纯的算术式子,还是文字型应用题,一般来说,通过对数量关系题干的准确分析以后,最终都被转化为对算式或者方程的处理和计算。因此,理解和掌握大量的计算技巧,对提高数学运算的解题速度至关重要。下面介绍几种常见的计算技巧。

  作者:李委明

  题目:计算1 2-3-4 5 6-7-8 9 10-11-12 … 1993 1994-1995-1996 1997 1998-1999-2000,最后结果是( )

  一、运用取中法解答数值计算

  一、巧用公式法

  第一部分 数量关系

  (A)0    (B)-1

  对于由相近的一组数相加的计算题,解答时可选择一个中间数作为计算基础,通过“移多补少”变加为乘,能使计算简便。

  巧用公式法是指通过各种数学公式对要计算的算式进行简化,或是在题干中未知的变量和题干中已知的数据之间架起一座桥梁,利用已知的条件迅速求解。

  (共25题,参考时限20分钟)

  (C)1999  (D)-2000

  例1 计算

  例题1:

  一、数字推理:本部分包括两种类型的题目,共10题。

  (第十届“希望杯”初一培训题)

  (4845 4847 4836 4838 4840 4839 4842)÷7

  123456788×123456790-123456789×123456789=(   )

  (一)、每题给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察数列的排列规律综合判断,然后从四个供选择的选项中选出最恰当的一项,来填补空缺项。

必威,  原题所给的参考答案为:

  分析和解 例1括号内是7个相近的数相加,按顺序排列可知中间的数是4840,以4840为基数,可作如下计算: 浙江行测交流群:191347667

  A.-1   B.0

  例题:1 3 5 7 9 ( )

  原式=1 (2-3-4 5) (6-7-8 9) (10-11-12 13) … (1994-1995-1996 1997) (1998-1999)-2000=1 0 0 … 0-1-2000=-2000,故选(D)。

  原式=[4840×7 (5 7-4-2-1 2)÷7=4841

  C.1    D.2

  A. 7B.8C. 11D. 未给出

  以上解法我们权且称作不均匀分组法。下面我们再给出几种不同解法。

  二、运用取中法解答整除问题

  解题思路:此题原式非常复杂,直接运用的话,计算量非常大,此时我们可以利用提取公因式法对原式进行化简,达到快速解题的目的。

  解答:正确答案是11,原数列是一个奇数数列,帮应选C。

  解法一:观察法

  涉及整除问题的填数题,可根据填数的诸种可能性,先假设中间一个数进行试探,进而再进行调整,可使问题得到解决。

  解析:原式=(123456789-1)×(123456789+1)-1234567892

  请开始答题:

  ∵1 2-3-4=-4,1 2-3-4 5 6-7-8=-8,1 2-3-4 5 6-7-8 9 10-11-12=-12,…

  例2 如果六位数,1992□□能被95整除,那么,它的最后两位数是_____。

  =1234567892-1-1234567892

  1、33, 32, 34, 31, 35, 30, 36, 29, ?

  经观察知,每一“片断”的代数和均为参加运算的最后一个数,故原式=-2000,选(D)。

  (1992年小学数学奥林匹克初赛(B)卷第4题)

  =-1

  A. 33B. 37C. 39D. 41

  解法二:小段均匀分组法

  分析和解最后两位数只能是“00”到“99”一百个数中的一个数,先假设这两位数是中间数50。那么,199250 ÷95=2097……35,显然,假设偏大35,故从199250中减去35所得的差能被95整除。即:199250-35=199215,所以,它的最后两位数是“15”。

  所以正确答案为A。

  选B

  将式中每连续4个数分为一组,则有1 2-3-4=-4,5 6-7-8=-4,9 10-11-12=-4,…,∴2000÷4=500(组),故原式=500×(-4)=-2000.

  三、运用取中法解答估算问题

  例题2:

  解答:交叉数列(即隔项或称奇偶数列)。分项后为等差数列。

  解法三:凑零法

  在小学数学竞赛中,常出现这样一类题,它不要求算式的精确值,只要求算式结果的整数部分。对这类题,解答时取中间一个数代换其它数进行计算,先求出近似结果,再加以确定能较快地求出结果。

  已知a b=8,ab=-20,则(a-b)a3 (b-a)b3 =(   )

  2、3, 9, 6, 9, 27, ?, 27

  ∵-0 1 2-3=0,-4 5 6-7=0,…,-1996 1997 1998-1999=0,∴原式=0 0 … 0-2000=-2000.

  分析和解 观察可知,繁分数中共有12个分母数字较大的分数,按常规的通分方法显然行不通。若取最大值和最小值来讨论算式的取值范围,也较

  A.96  B.-96

  A. 15B. 18C. 20D. 30

  解法四:大段均匀分组法

  找出算式的整数部分。

  C.2 096    D.12 096

  选B

  按个位数0,1,2,3,…,8,9分为一大组,进行计算,则有

  因此,S的整数部分是165。

  解题思路:此题无法直接计算,但考虑到算式和已知的条件之间可能通过公式来建立联系,因此可以使用公式来处理。

  解答:二级作商周期数列。两两作商得到:3、2/3、3/2、3、2/3、3/2。

  1 2-3-4 5 6-7-8 9=-0 1 2-3-4 5 6-7-8 9=1,

  四、运用取中法巧填数字题

  解析:

  3、2, 12, 6, 30, 25, 100, ?

  又10-11-12 13 14-15-16 17 18-19=-1

  填数字是一种常见的数学题型,其填法多种多样,但以中间数为突破口,通过分组试调,得到的一种解法,过程简捷、规律性强,便于操作,学生尤其是低年级学生易于接受。

  (a-b)a3 (b-a)b3

  A. 96B. 86C. 75D. 50

  而-20 21 22-23-24 25 26-27-28 29=1

  例4 把1、3、5、7、9、11、13填进7个空中,使每个圆圈里四个数字的和都相等。(九年义务教材第四册88页思考题)

  =(a-b)a3-(a-b)b3

  选A

  另外:30-31-32 33 34-35-36 37 38-39=-1,…

  分析和解 观察题图发现,图中有一中心格,它是三圆交叉的公共格,此处所填的数三个圆圈都得用。因此,确定此格的数字至关重要,由于中间数7即是7个数的平均数(49÷7=)7,所以中心格应填7,中间数把另6个数分成两组,前面三个数为较小数,后三个数为较大数,将较小数1、3、5填入三个较小空中或填入三个较大的空中,再将三个较大数9、11、13与之搭配,采取较小数配较大数的方法试调。使每个圆圈里的四个数的和都相等。这样便得到如下两解。

  =(a-b)(a3-b3)

  解答:变形奇偶数列。偶数项分别为前项乘以6、5、4得到,奇数项分别为前项减去6、5、4得到。

  1990-1991-1992 1993 1994-1995-1996 1997 1998-1999=-1.

  =(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)

  4、4, 23, 68, 101, ?

  ∴原式=1-1 1-1 … 1-1-2000=0 0 … 0-2000=-2000.

  =(a-b)2×[(a+b)2-ab]

  A. 128B. 119C. 74.75D. 70.25

  解法五:添数法

  =[(a+b)2-4ab]×[(a+b)2-ab]

  选C

  每一个方框数之和为-2,而这样的方框有1000个,将每个方框中添加2,故有:原式 2000=0.

  =[82-4×(-20)]×[82-(-20)]

  解答:变倍数递推数列。后一项分别为前一项剩以6、3、1.5、0.75再减去1得到。

  ∴原式=-2000.

  =(64 80)×(64 20)

  4×6-1=23

  解法六:隔数相加法

  =12096

  23×3-1=68

  在1 2-3-4 5 6-7-8 9 10-11-12 … 1993 1994-1995-1996 1997 1998-1999-2000中

  所以,本题答案选D。

  68×1.5-1=101

  隔数相加:如1-3=-2,2-4=-2,5-7=-2,…,这样的数对共有1000对,∴原式=-2×1000=-2000.

  二、弃九法

  101×0.75-1=74.75

  解法七:倒序错位相加法

  与尾数法类似的方法还有“弃九法”。把一个数的各位数字相加,直到和是一个一位数(和是9,要减去9得0),这个数就叫做原数的弃九数,如1 4 6 3 5 7=26,2 6=8,则146357的弃九数是8。当尾数法不能使用的时候,可以考虑采用“弃九法”来得到答案。

  5、323, 107, 35, 11, 3, ?

  令1 2-3-4 5 6-7-8 … 1997 1998-1999-2000=T

  与尾数法类似,两个数的弃九数之和等于和的弃九数,两个数的弃九数之差等于差的弃九数,两个数的弃九数之积等于积的弃九数。

  A. -5B. 1/3C. 1D. 2

  ∴有1 2-3-4 5 6-7-8 … 1997 1998-1999-2000

  弃九数本质上是原数除以9的余数,弃九法本质上也是同余的性质。

  选B

  故2T=3-2003-2003 3=-4000,∴T=-2000.

  公务员考试名师特别提示:弃九法同样不适用于除法。

  解答:倍数递推数列。前一项减去2后乘以1/3得到后一项。

  以上几种解法各有千秋。繁简程度各异,仅体现了不同的思维方式,也展现了思维的广阔性和灵活性,有助于我们拓展视野。

  例题:

  (323-2)×1/3=107

  (来源:学而思教育)

  11338×25593的值为:

  (107-2)×1/3=35

  特别说明:由于各方面情况的不断调整与变化,新浪网所提供的所有考试信息仅供参考,敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。

  A.290133434          B.290173434           C.290163434                    D.290153434

  (35-2)×1/3=11

  解题思路:此题数据很大,直接计算相当耗时;各项答案尾数相同,无法使用尾数法。此时可以考虑弃九法。

  (11-2)×1/3=3

  解析:1 1 3 3 8=16,1 6=7,11338的弃九数为7

  (3-2)×1/3=1/3

  2 5 5 9 3=24,2 4=6,25593的弃九数为6

  此题亦可倒过来看,即是后一项乘以3再加2得到前一项。

  7×6=42,4 2=6,则答案的弃九数为6。

  (二)、每题图形中的数字都包含一定的规律,请你总结图形中数字的规律,从四个选项中选出最恰当的一项。

  经计算,只有选项B的弃九数是6。

  例题:

  公务员考试专家认为,多做练习也是数量关系备考重要的方法,因为大量的练习可有助于考生对题型和知识点的快速把握,对方法和技巧的熟练应用,并可以大大提升解题速度。因此大量的专项练习和真题模拟是十分必要的。与此同时,及时总结也十分必要。总结可以帮助考生及时发现问题,寻找出限制自身分数提高的瓶颈,并且根据此对症下药。

  123

  专家提醒,在安徽省公务员考试的最后备考阶段,考生应当端正心态、积极备考,在做题的过程中注意巩固基础知识,灵活运用各项技巧,并及时进行总结。要熟悉每种题型的常规解法和常用思维技巧,另外做题时要注意时间上的把握,能掌握一些常用的速算技巧。最后祝各位考生都能取得好成绩!

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  3?5

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  A. 1B. 2C. 3D. 4

  解答:正确的答案是4,根据所提供的各项条件综合判断,可以得出最恰当的规律为:每一列和每一行都依次增加1;因此结合所给选项,答案是D。

  开始答题:

  6、

  1641

  32?2

  64164

  A4 B8 C16 D32

  选B

  解答:每一列为一公比为2的等比数列。

  7、

  129-6

  2310

  13?

  A. 26 B. 17 C. 13 D. 11

  选D

  解答:每一行相加和都为15。

  8、

  849?

  7237218

  23-1222

  A. 106 B. 166 C. 176 D. 186

  选D

  解答:每一行前两个数相加再乘以2等于第三个数。

  9

  129?

  113366

  8327

  A. 35 B. 40 C. 45 D. 55

  选C

  解答:每一行中,第一个数乘以3加上第二个数等于第三个数。

  10、

  ?1028

  61536

  339

  A. 12 B. 18 C. 9 D. 8

  选D

  解答:每一行中,第二个数的两倍加上第一个数等于第三个数。

  二、数学运算 你可以在题本上运算,遇到难题,你可以跳过不做,待你有时间再返回来做,共15题。

  例题:

  84.78元、59.50元、121.61元、12.43元以及66.50元的总和是:

  A. 343.73B. 343.83C. 344.73D. 344.82

  解答:正确答案为D。实际上你只要把最后一位小数加一下,就会发现和的最后一位数是2,只有D符合要求。就是说你应当动脑筋想出解题的捷径。

  11、甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问多少年前,甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍?

  A、4 B、6 C、8 D、12

  选B

  普通解法:设x年前满足条件,则(16-x) (12-x)=[(11-x) (9-x)]×2

  特殊解法:两组年龄差为8岁(分别作差5 3=8),当第一组为第二组两倍时肯定是16与8岁。现在第一组和为28岁,需要倒退12岁到16岁,需要6年,因为两个人一年一共倒退2岁。

  注:特殊解法只代表一种较特殊的思维,在有些情况下可以简化计算,但并不代表所有情况下都可以简化计算,这里列出来供大家选择适合自己并且考场之上容易想到的方法,如果无法理解或者考场之上无法想到,建议使用普通解法。下同。

  12、李明从

图书馆借来一批图书,他先给了甲5本和剩下的1/5,然后给了乙4本和剩下的1/4,又给了丙3本和剩下的1/3,又给了丁2本和剩下的1/2,最后自己还剩2本。李明共借了多少本书?

  A、30 B、40 C、50 D、60

  选A

  普通解法:设李明共借书x本,则((((x-5)*4/5-4)*3/4-3)*2/3-2)*1/2=2

  特殊解法:思维较快的直接倒推用反计算,即用2乘2加2乘3/2加3……

  13、商店为某鞋厂代销200双鞋,代销费用为销售总额的8%。全部销售完后,商店向鞋厂交付6808元。这批鞋每双售价为多少元?

  A、30.02 B、34.04 C、35.6 D、37

  选D

  普通解法:设每双售价x元,则200×x×(1-8%)=6808

  特殊解法:交付钱数6808元必然能除尽每双售价,依此排除A、C。如果是B,很容易发现200双正好6808元,没有代销费用了。

  14、甲、乙二人2小时共加工54个零件,甲加工3小时的零件比乙加工4小时的零件还多4个。甲每小时加工多少个零件?

  A、11 B、16 C、22 D、32

  选B

  普通解法:设俩人速度分别为x、y,则2x 2y=54,3x-4y=4

  特殊解法:从第一句话知D不对。从第二句话中知甲每小时加工的零件是4的倍数。

  15、某车间进行季度考核,整个车间平均分是85分,其中2/3的人得80分以上(含80分),他们的平均分是90分,则低于80分的人的平均分是多少?

  A、68 B、70 C、75 D、78

  选C

  普通解法:设x为所求,假设总共3人,其中2人80以上,1人低于80分。则2*90 1*x=3*85。记住此处别忘了用尾数法快速得到答案。

  特殊解法:利用十字交叉法解决混合平均问题。两部分人比例为2:1,则其各自平均分到85分的距离应该反过来为1:2=5:10,直接得到75。

  16、五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错的可能情况共有多少种?

  A、6 B、10 C、12 D、20

  选D

  普通解法:从五个瓶子当中选出三个来为C(3,5)=10,这三个瓶子都贴错有2种可能,即231、312两种。10×2=20

  17、装某种产品的盒子有大、小两种,大盒每盒能装11个,小盒每盒能装8个,要把89个产品装入盒内,要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个?

  A、3,7 B、4,6 C、5,4 D、6,3

  选A

  普通解法:设大小盒分别为x、y个。则11x 8y=89。在自然数范围内解此不定方程,0≤x≤8,根据奇偶还得是个奇数,所以选择1、3、5、7代入发现,只有x=3可以得到自然数y=7

  特殊解法:直接代入。尾数为9的只有A。

  18、电视台向100人调查昨天收看电视情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。问,两个频道都没有看过的有多少人?

  A、4 B、15 C、17 D、28

  选B

  普通解法:看过的人为62 34-11=85,没有看过的自然是15。

  特殊解法:用容斥原理。100=62 34-11 x。尾数为5。

  19、有一堆螺丝和螺母,若一个螺丝配2个螺母,则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母,则少6个螺母。共有多少个螺丝?

  A、16 B、22 C、42 D、48

  选A

  普通解法:设螺丝和螺母分别为x、y个。则2x 10=y,3x-6=y

  特殊解法:考虑第二次是在第一次的基础上每个螺丝再加一个螺母,多出来的10个螺母还可以加10个螺丝,但仍然少6个螺丝,因此螺丝就是10 6=16个。

  20、甲、乙二人上午8点同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙多骑6千米,中午12点甲到达西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。东、西两村相距多远?

  A、30 B、40 C、60 D、80

  选C

  普通解法:设甲的速度为x,乙为x-6,两村相距为y,他们从出发到相遇共用时t小时。则4x=y,tx=y 15,t(x-6)=y-15

  特殊解法:相遇时甲比乙多骑2个15千米,即多骑30千米,而甲比乙每小时多骑6千米,说明相遇时一共过了5个小时,即为13点。说明甲从12点到13点一个小时走了15千米,所以从8点到12点四个小时应该走60千米。

  21、某铁路桥长1000米,一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒,整列火车完全在桥上的时间80秒,则火车速度是?

  A、10米/秒 B、10.7米/秒 C、12.5米/秒 D、500米/分

  选A

  普通解法:设速度为v,火车长s,则1000 s=120v,1000-s=80v。

  特殊解法:从两个时间平均得到100秒知,从车头进桥到车头离桥需要100秒,这个过程车经过的距离正好就是桥的长度,所以车速为10。

  22、大、小两个数的差是49.23,较小数的小数点向右移动一位就等于较大的数,求较小的数?

  A、4.923 B、5.23 C、5.47 D、6.27

  选C

  普通解法:设小数为x,则大数为10x。10x-x=49.23。

  特殊解法:直接代入通过尾数排除A、B,估算排除D。

  23、有10个连续奇数,第1个数等于第10个数的5/11,求第1个数?

  A、5 B、11 C、13 D、15

  选D

  普通解法:设第1个数为x,则第10个数应该是x 18,x=5/11(x 18)。

  特殊解法:第1个数为第10个数的5/11,则第一个数为5的倍数,排除B、C。如果第一个数为5,则第10个数为11,显然不对。

  24、八个自然数排成一排,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的和,已知第五个数是7,求第八个数。

  A、11 B、18 C、29 D、47

  选C

  普通解法:a、b、c、d、7、f、g、h。因为c d=7,所以c和d可能是1 6、2 5、3 4、4 3、5 2、6 1的组合,验证只有3 4满足前面条件,为2、1、3、4、7、11、18、29

  特殊解法:考虑d的取值极端情况,两种为a、b、c、0、7、7、14、21和a、b、c、7、7、14、21、35。两者之间即可。

  25、(300 301 302 …… 397)—(100 101 ……197)= ?

  A、19000 B、19200 C、19400 D、19600

  选D

  普通解法:分别用等差数列求和公式求出俩和再作减法。(300 397)*98/2-(100 197)*98/2

  特殊解法:括号对应处相减都为200,一共98个200。

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